Z 1 1 d x 1+ x 2: (6.29) 1 = (1 + z 2) の極は i 。例 42 の積分路 C 1 （図 6.3 ）を考える。 内には 位の極 z =i があるから次の積分が計算できる。 J = I C 1 d z 1+ z 2 =2 ilim z! 問題 \(\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{d\theta}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}\) 解答1. 第0章 準備 0.1 約束 r の話をしているときの∞, −∞ と、c の話をしているときの∞ は同じ記号を使ってい るが別ものなので、r の話をしているときに∞ と書くのはやめて+∞ と書くことにする。 ∞, +∞, −∞ は3つの異なるもので、∞ ̸= +∞ である。 0.2 上極限と下極限 であり、Cauchy-Riemann 方程式が成り立つからf(z) = z2 は全複素平面C で正則である。実際、 f′(z) = lim h!0 (z +h)2 z2 h = lim h!0 2zh+h2 h = 2z と導関数は実関数の場合と同じように計算できる。一般に、f(z) = zn (n = 0;1;2 ) の導関数がf′(z) = nzn 1 と なることも同様である。 (例1)関数\( \displaystyle f(z)=\frac{1}{z} \) において、原点中心で半径1の円の円周を反時計回り(すなわち、正の向き)に移動する経路\( \ \ C: z=e^{ti}\ (0\leq t \leq 2\pi) \)上の線積分は 3.
11.2 留数定理 115 11.2 留数定理 定義：留数 関数f(z) が領域Dでz= z0 を除いて正則な1価関数であるとき，領域 Dの内部にあってz0 を内部に含む区分的になめらかなJourdan 曲線Cをとれば，積分 1 2πi C f(z)dz の値は曲線C のとりかたによらない。 この値を関数f(z) の点z0 における留数とい
積分路C がjzj = 2 で表される曲線上を正の向きに一周する閉曲線であるとき， 1 2ˇi C ezt (z2 +1)2dz につい て次の各問いに答えよ．ただし，t は実数とする． (1) 1 (z2 +1)2a z i + b z +i c (z i)2d (z +i)2と部分分数展開するとき，a，b，c，d の値を求めよ． (2) 上記の複素積分の値を求め，x+iy の形で表せ．
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