増加数列 {} が上に有界であるなら、それは収束し、その極限は {} であることを証明する。 【証明】 （1） は上に有界 な増加数列なので、 とすると、集合 A は上に有界。 したがって、 が存在し、上限の定義より である。 は増加数列だから、任意の ε>0 に対して となる. 単調実数列の収束 定理} が単調実数 列（すなわち a n ≤ a n+1 が成立する）であるとき、この数列が有限な極限を持つための必要十分条件は、それが有界数列であることである 。 証明. 証明 上極限についてのみ示す。 が上に非有界の時は であり成立。 が上に 有界、すなわち、ある実数mが存在して が成立する場合を考える。 数列 を以下のように定める。 この時、 は単調減少。
濃度の定義と同じ濃度をもつ集合の例【証明付き】 数学 Math 2018.7.20 はさみうちの原理を使う！数列の収束と有界性; 数学 Math 2018.8.21 順序関係と順序集合、最大元、極大元、上限; 数学 Math 2018.8.15 [a,b] 上実数値連続関数全体の集合 C[a,b] 距離空間【証明付き】 ある証明で、an≧0で、有限和Σan≦A（ある値）であるから、Σ（n＝1～n＝N）anは上に有界とあったのですが、 何故上に有界となるかがピンときません。 有限和に関して上から抑えられていても無限ならそうとは限らないとか考えてしまい 数列の極限の定義と例および基本的な性質(和の極限、積の極限、商の極限・大小関係がある場合の極限)の証明を丁寧に記しました。よろしければご覧ください。 上に有界な数列は上極限を持つ。 下に有界な数列は下極限を持つ。 (BW) Borzano-Weierstrassの公理(点列コンパクト性) 有界な数列は収束部分列を持つ。 (A) Archimedesの公理 NはRの非有界部分集合である。 上極限・下極限の定義は(W)と(OC)に基づいているので (W), (OC)) (LSI) となっている。そこ …
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