応力テンソルの例（静水圧応力状態） 静水圧応力状態 x1 x2 x3 応力状態に方向性が無く，常にせ ん断応力が0である． 応力状態が座標変 換に依存しない． pI p p p = − − − − = 0 0 0 0 0 0 σ 12 座標系 3/12 単位ベクトルは a , a , a z であり，(b)のように定められている．どの場所でもこれらの 単位ベクトルは直交しており，右手系をなしている． a a = a z,a a z = a ,a z a = a (2.2.1) 直角座標との関係は x = cos x 2+ y y = sin = tan–1 y 1.1. 方向余弦の基本的な表し方を説明する。ここでは、ベクトルの内積によって余弦(cosine)が出てくることを学び、方向余弦によってベクトルの向きを指定する表現を学ぶ。また、角度の関係とベクトルの大きさについて丁寧に説明した。 性が成り立てば、座標変換によって(一様) 重力場の寄与を消すことができる。 さらに注意深く考察すると、重力に関係する質量も、 * 1 ここで F は重力以外の力をあらわす。 であり、この式を方向余弦と呼びます。方向余弦は、一般のベクトルでも同様の仮定で 変換することが出来ます。 さて、ここで次のようなx3軸周りに角度θだけ回転した直角座標系を考えてみましょう。 次の図から、 x1/d =cosθ d = x1/cosθ y/d=sinθ y/( x1/cosθ)=sinθ 一般に、n次元空間の座標xとある量Fの間に x (x1,x2, ... ,xn) → F (F1,F2, ... ,Fn) x' (x1',x2', ... ,xn') → F' (F1',F2', ... ,Fn') の対応があり、Fの座標変換が方向余弦の1次形式として次のように行われるなら … であることがわかる． は，方向余弦(direction cosine)とよばれる． 一般のベクトル に対しても， と表 せるから，同じ関係が成り立つ． [例] 座標系 と，別の座標系 が与えられた時， 方向余弦 を成分とする行列 の行列式は，1で あることを示そう．. 座標軸がうごいても、方向や大きさが変わらないもの・・・といえば、ベクトルです。 テンソルも同じなんです。 実はスカラーだってそうです。 座標軸（測定系）がどれだけ変化しても、スカラーそのものが持つ大きさは不変でしょう？ たとえば東京の気温。これはスカラーです。 座標軸と� ベクトル・テンソル解析 1.1.1.3 ベクトルに対する線形演算～ベクトルの基底 ベクトルを成分を使って表すということは、 別の表現法では、座標軸方向の単位ベクトルe1,e2,e3 を用いて v = ∑3 i=1 viei (7) と書くということでもある。 注1) マトリクス形で書けば（各成分は全て同じ座標系のものとして）， 注2)テンソル T そのものは座標系によらないから と置ける．ここで右辺は したがって なお，テンソルをマトリクスの形で表示し と書いた場合は は成立しないことに注意せよ．注3) テンソル積とテンソル積の積同式左辺と任意のベクトルvとの作用は 同じベクトルvを同式の右辺に作用させれば となり両者は一致する．
式(1.12)と(1.13)は座標変換式となっている．同時に両式の偏微分からQ ij は， i j j i ij x x x x Q (1.14) という関係も満たす．Q ij は方向余弦と呼ばれる．例えばx 3 軸まわりに角度 だけ回転 した直角座標系ともとの座標系との関係は式(1.13)で表され，そのときQ ベクトルとテンソル（吉田）v1.1 2011/04/10 1. 授業で方向余弦についてはなしをきいたのですが、方向余弦と、単位ベクトルの違いがわかりません。なにか、勘違いをしているといわれたのですが・・・、ぜんぜんちがうものに思えません・・・。教えてください、おねがいします。「大きさ 2.
前のセクションでは，テンソルを座標変換の際の変換則によって定義しました．式 の変換則は今後も頻繁に使うものですから，しっかり覚えておいて ... かけた場合の変位を挙げられます．消しゴムのようなものをギュウと押すと，力を加えた方向 に縮むだけでなく，横にも広がりますね．（� 方向余弦の基本的な表し方を説明する。ここでは、ベクトルの内積によって余弦(cosine)が出てくることを学び、方向余弦によってベクトルの向きを指定する表現を学ぶ。また、角度の関係とベクトルの大きさについて丁寧に説明した。 応力テンソルの例（静水圧応力状態） 静水圧応力状態 x1 x2 x3 応力状態に方向性が無く，常にせ ん断応力が0である． 応力状態が座標変 換に依存しない． pI p p p = − − − − = 0 0 0 0 0 0 σ 12 慣性テンソル • 重心を通る一般的な回転軸の周りの慣性 モーメント： 慣性テンソル（3行3列の行列）と回転軸の 単位方向ベクトルで記述される。 • 数学（ 線形代数d ）：直交行列（座標変換）により 実対称行列は「対角化」される。 4階のテンソルは大きさと4つの方向に依存する量であり，二階テンソルを二階テン ソルに変換する線形作用素の意味を持つ．応力とひずみを結びつける構成則の中に現 れる弾性テンソルが4階テンソルであ …
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