→x=(x1,x2,⋯,xn)⊤ を決めると →y=(y1,y2,⋯,ym)⊤ が定まる状況（n 変数関数が m 個あると考えてもよい，n 変数の m 次元ベクトル値関数と考えてもよい） 2. 2次元のラプラシアンの極座標表示 2次元の極座標は と定義されてますが（こちらを参照）、今回はこれを逆に解いて、動径 、偏角 を 直交座標の で表した以下の表式を用います： 直交座標の微分を極座標とその微分で表す
直交座標は別名、デカルト座標とも呼ばれます。この表し方は、中学校の頃からみなさん親しみがあると思います。名前の由来は言わずもがな、x 座標と y 座標が直交していることに由来しています。この直交座標系は物理学では、物体の直線運動や放物線運動を表すときに使われます。また、中学校で習う理科でも、グラフなんかを何度も使ってきているので、使い道のイメージはすぐ湧くと思います。問題は高校数学で初めて習う、極座標のほうですよね。 行列 \begin{equation} R = \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$の勾配について述べます。 ここでは、 2次元極座標系の勾配 - 数式で独楽する とは異なるアプローチをしていきます。 極座標 - 数式で独楽する. である。ここで、 $0 \leq \theta \leq \pi$ かつ $0 \leq \phi \leq 2 \pi$ である。 この関係から、 極座標系による勾配、発散、回転、ラプラシアン等を導出することが出来る。 〜状況設定〜 1. 次に 次元の極座標を書いてみます。 となります。2次元のときは、 で、3次元のときは. 各 yi は xj で偏微分可能〜ヤコビ行列の定義〜 ∂yi∂xj を ij 成分とする m×n 行列 J をヤコビ行列と言います。例えば i=j=2 のとき，ヤコビ行列は J=(∂y1∂x1∂y1∂x2∂y2∂x1∂y2∂x2) です。〜ヤコビアンの定義〜ヤコビ行列の行列式をヤコビ行列式，またはヤコビアンと言います。ヤコビアンは変換の「拡大率」を表す重要な量です。 なので実際に を計算してみます。 ベクトル演算子の勾配（grad）、発散（div）を2次元極座標で実行する際には、直交座標の場合から変換を行う必要がある。 まずは、結論から示してみる。2次元極座標系における、勾配、発散は以下のように表すことができる。
です。3次元までは理系の方なら学習したと思います。 では、まず小さい次元の場合から計算してみましょう。 2次元の場合.