既約表現 \(V\) の部分表現として \(V\) 自身と \(\emptyset\) 以外の表現を持たないような \(V\) を 既約表現 という. すなわち, r を 有限鏡映群w の有限次元次数表現とします.
定義. 第4章 群の表現II(presentation II of group) 3 既約表現の指標は直交していて、群の位数gに規格化される。 類(class)の種類の数をkとすると X k χ(α)(R i) ∗χβ(R k)hk = gδαβ hkは類Rhに属する元の数 2つの表現が等価である ⇌表現の指標が等しい 指標の第二種の直交性 X α=1 χ(α)(C 目次へ 1.3 Lie部分群の位相的特徴付け 【定理1.7 (Cartanの定理)】 Lie群Gの閉部分群H は常にLie部分群の構造 をもち，それは一意的である． 【定理1.8 (山辺の定理)】 Lie群Gの部分群H がGの位相に関して弧状連結 であることとH がGの連結Lie部分群となることは同等である． 有限群の表現 30 4.4 指標 4.4.1 表現の直交性定理 位数rの群Gの，既約なユニタリー表現は次の直交関係を満たす g D( ) ij (g)D kl (g) = r d ik jl (4.24) ただし,d は表現 の次元. 指標の表現論的拘束 群の共役類と表現論 登場する全ての群は適当な意味で有限次元とする。 有限群GのC上の既約表現はGの共役類と1 対1 対応。 一般にG上の共役不変な“関数”(指標chˇ) は表現ˇを基本的に決定。 指標がうまく定義できるGの既約表現ˇ;ˇ′に対して、指標の直交関 目次へ 1.3 Lie部分群の位相的特徴付け 【定理1.7 (Cartanの定理)】 Lie群Gの閉部分群H は常にLie部分群の構造 をもち，それは一意的である． 【定理1.8 (山辺の定理)】 Lie群Gの部分群H がGの位相に関して弧状連結 であることとH がGの連結Lie部分群となることは同等である． これら有限鏡映群の次数表現に対しては, しばしば次の現象が見られます. 一次元既約表現は、A or B で表す 主軸の回転に対して対称の場合A（指標が1） 主軸の回転に対して反対称の場合B（指標がｰ1） 主軸に垂直なC2 軸（D 対称）や主軸に平行なσ面をもつとき、 対称=下付数字1 有限次元自己入射多元環の表現とその周辺 271 し，Ringelの理論や被覆理論を応用した無限表現型Frobenius多元環の分類への道を開いた． 本論説では有限次元非可換多元環の表現の出発となったFrobenius多元環の表現とそれに係わる研 究についてその一端を紹介し，上述のような研究の流れを背景 … 表現論 g：有限群 v：c上の有限次元ベクトル空間 gl„v”：v 上の線型同型写像全体 定義(表現) 準同型ˆ: g!gl„v”とv の組„ˆ,v”をg のv 上の表現，v を表現空 間，v の次元を表現の次元という． „ˆ,v”：g の表現 w ˆv：部分空間 定義(部分表現) w はv の不変部分空間 def ()8g 2g, ˆ„g”„w”ˆw. 表現の分解. 有限群 \(G\) とその表現 \(V\) について、 \(V\) は有限個の既約表現の直和に分解できる: \[V = V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_k\] GL(V) をGの有限次元表現とする．任意のg2 Gに対し，ρ(g) の表現行列をA(g) と書くことにする．このとき，関数 χV: G!
kG は有限次元k上代数であるから有限個の（両側加群としての）直既約成分に一意的 に分解される。 kG = B0 B1 Bn つまり、各Bi は両側加群(両側イデアル）として直既約で、kGのブロックと呼ばれる。自明 可換群の既約ユニタリ表現はすべて1次元で、指標となる; みたいな結果が得られるとのこと。最後のが積分形式のフーリエ変換に対応する。 参考： 本間 泰史 有限群の表現、対称群の表現の基礎 ; 橋本 隆司 対称群の表現論 (組合せ論講義ノート) 第4章 群の表現II(presentation II of group) 3 既約表現の指標は直交していて、群の位数gに規格化される。 類(class)の種類の数をkとすると X k χ(α)(R i) ∗χβ(R k)hk = gδαβ hkは類Rhに属する元の数 2つの表現が等価である ⇌表現の指標が等しい 指標の第二種の直交性 X α=1 χ(α)(C C が類関数(class function) … 表現論の方法と考え方 2000 年度名古屋大学集中講義 (自然数理特論 1) 西山享 (京大総合人間学部) 2000/11/20 { 11/24 V er. すなわち, r を 有限鏡映群w の有限次元次数表現とします. 表現には次元が定義できた．既約表現´(fi) に対する次数をd fi とおく．この次数に対して次の関 係式が成り立つ． 定理1.20. 同値でない既約表現の次元の2 乗の和は群の位数に等しい．すなわち， r = Xnr fi=1 dfi 2: 命題1.21. 群からのd2 aut(v)への準同型写像があるとき，dとその作用する空間のペ アを表現と呼ぶ(d;v)．行列表現ではdを表現行列，vを表現空間と呼ぶ．2. ある表現があった時，一般に行列tによる共役変換で得られる表現は表現とし 有限群の表現 29 まとめ：表現の既約分解 1. 群論と結晶場 6 / 28 佐藤研究室 6 既約表現の記号 Mulliken の記号 1. 数表現を有限鏡映群に対して考えることは, いままでもそしてこれからも重要な問題であり 続けるでしょう. 証明の概要 M = g D (g 1)BD (g) (4.25) という行列を考える．ここに，D (g′)をかけると D (g′)M = g 定理. 論がありまして，その後リー群やリー環の表現論に入ります（扱うの古典群）．コ ンパクト群の表現論を理解するには，まず有限群の表現から勉強したほうが理解 しやすく，対称群という有限群の表現論を学べば，U(n), SU(n)の表現へと繋がり ρ: G! これら有限鏡映群の次数表現に対しては, しばしば次の現象が見られます. 数学において、群の表現（ぐんのひょうげん、英: group representation）とは、抽象的な群 G の元 g に対して具体的な線形空間 V の正則な線形変換としての実現を与える準同型写像 π: G → GL(V) のことである。線型空間 V の基底を取ることにより、π(g) をより具体的な正則行列として表すことができる。 2020 年度代数学XC（本郷）第7 回レジュメ Gを有限群とし，C 上の表現を考える． 定義7.1. 群という。また、元の数が有限個の群を有限群、無限個の群を無限群とい う。これらの概念を拡張して、物理法則を不変に保つような変換の集まり からなる群も構成できる。直交群、ユニタリ群、ゲージ群などがその代表 例である。 数表現を有限鏡映群に対して考えることは, いままでもそしてこれからも重要な問題であり 続けるでしょう. C g7!tr(A(g)) をρの指標(character) という． 定義7.2. 関数f: G!
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