という性質を持つ式である。符号が変わるだけなので、偶数個の交代式の積や、交代式を 2乗した式などは対称式となる。例えば g(x,y) 2 = (x 2 − y 2) 2. 1 対称式（交代式）とは【基本からおさらい】 2 対称式（交代式）の解き方・考え方; 3 【例題1】x + y = 3, xy = 2 のとき、x² + y², x³ + y³ の値をそれぞれ求めよ。 4 【例題2】 x = √5 + √3, y = √5 − √3 のとき、x² + y², x⁴+ y⁴ の値を求めよ。 三変数 $x,y,z$ に関しての基本対称式は $S=x+y+z, T=xy+yz+zx, U=xyz$ の $3$ つです。全ての対称式は $S, T, U$ で表すことができるのです。 三変数の対称式について覚えておくべき（または素早く作れるようになっておくべき）等式です。 の多項式で書ける。例えば 対称式の変形公式 \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy\) に①、②を代入すると、 \(\begin{align}x^2 + y^2 &= 18^2 – 2 \cdot 1 \\&= 324 – 2 \\&= 322\end{align}\) 答え： \(\bf{\color{red}{322}}\) (2) 対称式の変形公式 \(x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y)\) に①、②を代入すると、 は対称式である。 任意の対称式は、基本対称式 s 1 = x + y s 2 = x y. 対称式は、文字を入れ替えたときに式が変わらないものをいいます。例えば、3文字で言うと、\(x+y+z\)、\(x^2+y^2+z^2\)、\(xy+yz+zx\) などは対象式です。一般に\(x,y,z\)の整式をf(x,y,z)とおくとき、\(f(y,x,z)＝f(x,y,z)\) になるようなものが、対称式です。 一見して、\(a,b,c\) について、きれいな対称的な式ですね。きっと対称式か交代式なのでしょう。 交代式は，$2$ 乗すると必ず対称式になります． 実際 $f(x,y)$ を交代式とすると，$f(x,y)=-f(y,x)$ なので， $$\left(f(x,y)\right)^2=(-f(y,x))^2=(f(x,y))^2$$ したがって，$(f(x,y))^2$ は対称式．$3$ 変数以上の場合も同様です． 対称式・基本対称式とは 文字を入れ替えても全く同じ式になる式のことを対称式といいます。どういうことかというと、例えば"x＋y"のxとyを入れ替えると"y＋x"になりますが、これは"x＋y" 対称式・交代式は、各文字の次数が等しいので、因数分解するときは、どれでもいいので、\(1\) つの文字について整理します。 例題1 \(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc\) を因数分解しなさい。 解説. 対称式と交代式の関係 交代式の $2$ 乗. 対称式と交代式はセットで覚えましょう。対称式とは，どの2つの変数を入れ替えても元の値と変わらない式のことです。例えば a2+b2 という式は，a と b を入れ替えると b2+a2 となり，元の式と同じなので対称式です。交代式とは，どの2つの変数を入れ替えても −1 倍になるような式のことです。例えば a2−b2 という式は，a と b を入れ替えると b2−a2 となり，元の式の −1 倍になるので交代式です。このページでは，多項式の交代式について考えます。
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