e iπ + 1 = 0. eiθ + 1 2 e−iθ である。線積分の定義に従って積分を実行すると ˇ C f(z)dz = 2π 0 9 2 eiθ − 1 2 e−iθ 3 i 2 eiθ + 2 e−iθ dθ = i 2π 0 6561 16 e4iθ − 729 8 e2iθ + 9 8 e−2iθ − 1 16 e−4iθ dθ=0. e^(iθ)=cosθ+isinθ です。（証明は省略します） e^(inθ)=cos(nθ)+isin(nθ) と書いても意味は同じです。これと、ド・モアブルの定理を見比べてみてください。 ところで、極形式で半径rは、 r=((a・cosθ)^2+(b・sinθ)^2)^(1/2) と表せるので、a=1,θ=0なら半径r=1です。 オイラーの等式（オイラーのとうしき、英: Euler's identity ）とは、ネイピア数 e 、虚数単位 i 、円周率 π の間に成り立つ解析学における等式のことである。. 第7 章 複素積分とCauchyの積分定理 7.1 実変数複素数値関数の定積分 定義 実変数tの複素数値関数 w(t)=u(t)+iv(t)(a≤ t≤ b) の，区間a≤ t≤ bにおける定積分を b a w(t)dt= b a u(t)dt+i b a v(t)dt (7.1) で定義する。 定義より，次の性質が導かれる。 e^πi=-1という等式が成立します。この式をオイラーの公式と言います。オイラーの公式の意味と証明を、高校生でも雰囲気が理解できるように解説します。 sinθ＝（e iθ －e-iθ ）/2i …(2-48) これらの式は式(2-42)の実部と虚部を共役複素数で表すことに相当しています。 また、三角関数の諸公式の基礎となる加法定理は指数関数の乗法公式で表わすことができます。 オイラーの公式e^(iθ)＝cosθ＋isinθを導く方法で、マクローリン展開を使う方法は知っているんですけど、他にどのような方法があるでしょうか？Z＝f（θ）＝cosθ＋isinθとおいて、θで微分dZ／dθ＝f’（θ）＝－sinθ＋icosθ ＝i（i e^iθ=-1 となり、移行すると最初のオイラーの等式に辿り着きます。 つまり、 e^iθ = cosθ + i sinθ が証明できればオイラーの等式を導けるのです。 すなわち、任意の整数 z について θ = π + 2 π z = 2 π (z + 1 / 2) は e iθ = −1 を満たす。 ^ x = 0 の周りのテイラー展開をマクローリン展開 (Maclaurin expansion) と呼ぶ。また一般に関数を冪級数として表すことを冪級数展開と呼ぶ。 ^ 級数
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